Aste compresse: carico limite per evitare il fenomeno di instabilità

Sommario

Il pilastro è quell’elemento dell’edificio che contribuisce al sostegno di carichi assiali provenienti dall’alto, siano essi coperture, solai o travi.

Il pilastro può essere soggetto a instabilità, dovuta a un carico assiale di punta che provoca un improvviso collasso, sebbene l’effettivo sforzo di compressione generante il collasso, sia minore dello sforzo massimo che il materiale componente il membro è capace di sopportare.

Una struttura snella, ricevendo sollecitazioni provocate, ad esempio, da uno sforzo normale non coincidente esattamente con l’asse baricentrico della sezione dell’asta, tende a incurvarsi fino al punto di rottura e a collassare. Il fenomeno dell’instabilità a carico di punta è detto “instabilità euleriana”.

Per evitare questo fenomeno, si devono modificare alcuni parametri tra cui:
•    riduzione dello sforzo di compressione;
•    riduzione dell’eccentricità di carico;
•    riduzione della lunghezza dell’asta;
•    riduzione della lunghezza libera di inflessione dell’asta;
•    aumento dell’area della sezione;
•    aumento dei vincoli alla base (suolo) ed in testa (soffitto) del pilastro.

I parametri sopra elencati, conferiscono un certo grado di sicurezza contro l’instaurarsi del fenomeno del carico di punta.

Un’asta sottile, rettilinea, di materiale elastico, soggetta unicamente alle estremità a due forze uguali ed opposte, agenti secondo il suo asse, ha una configurazione di equilibrio che può essere:
•    stabile, quando l’asta reagisce bene alle forze trasversali: allontanata dalla configurazione rettilinea, dopo un certo numero di oscillazioni, vi ritorna;
•    instabile, quando l’asta, allontanata dalla configurazione iniziale, se ne allontana sempre di più, fino alla crisi.

Questi fenomeni di mutamento della forma delle strutture elastiche caricate di punta, prendono il nome di: “fenomeni di instabilità dell’equilibrio elastico”.

Ora, poiché per valori del carico di punta, inferiori ad un certo valore limite, l’equilibrio della struttura è stabile, mentre per valori maggiori, diventa instabile, si comprende facilmente l’importanza di determinare questo valore limite, al quale si dà il nome di “Carico critico”.

Ricerca del carico critico “Pcr”

Vi sono più metodi per determinare il carico critico; si esporrà di seguito il metodo analitico detto anche di “Eulero”.

Si consideri un pilastro di notevole sezione incastrato in A e libero in B e sottoposto a un carico concentrato “P”.

Lo stato di tensione in ogni sezione è quello fornitoci dal De Saint-Venant: σ = P/A.

Se, invece, di un pilastro di notevole sezione, si carica assialmente un’asta snella, aumentando il carico “P”, l’asta rimane rettilinea fino a un certo valore di P, superato il quale, l’equilibrio diventa instabile e l’asta assume bruscamente una nuova configurazione di equilibrio, diversa dalla precedente, fino a che, anche per un piccolo aumento della P, si arriva alla crisi.

In questa sede ci chiediamo qual è l’attimo in cui la struttura assume una configurazione di equilibrio diversa da quella rettilinea, l’attimo cioè in cui l’equilibrio diventa instabile. Si vuole, quindi, ricercare il minimo valore di "P" per cui l’equilibrio comincia a non essere più stabile.

Consideriamo un pilastro incastrato alla base “A” e libero in sommità “B”:

Data l’asta A B, si suppone che oltre alla configurazione di equilibrio rettilinea, sia possibile, sotto il carico P, un’altra configurazione di equilibrio, diversa dalla precedente e non confondibile con essa.

Esprimiamo ora analiticamente la nuova configurazione dell’asta, scrivendo l’equazione linea della linea elastica per la deformata “A÷B’”:
d2y/dz2 = y’’ = - M/ EJ;            

nella generica sezione si ha: M = P · y   e, quindi:
d2y/dz2 = y’’ = - P · y / EJ        → y’’ + P/EJ · y  =0
che rappresenta una equazione differenziale del secondo ordine, lineare, omogenea, la cui soluzione conduce ad un integrale generale, le cui costanti arbitrarie k1 e k2 si ricavano dalle condizioni al contorno.

y(z) = k1·cos(az) + k2·sen(az)                  con a = SQRT (P/EJ)

Il carico critico risulta in ultimo essere:
Pcr = π2/4 · EJ/l2 rappresenta la nota formula di Eulero.

Quindi per P<Pcr l’asta che si allontanata per una causa qualunque dalla posizione di equilibrio, tende poi a tornare alla posizione originaria, e l’equilibrio è stabile.
Invece per P>Pcr, l’asta che si è allontanata dalla sua posizione di equilibrio, se ne allontana sempre più fino alla crisi e l’equilibrio è instabile.

Il carico critico per pilastri con diverse condizioni di vincolo, conduce ai seguenti casi principali:

caso 1) lo= 2·l                
caso 2)  lo= l                       
caso 3) lo= l/√2 = 0,7·l           
caso 4) lo= l/2=0,5·l

La formula generale è la seguente:   Pcr = π2 · EJ/lo2

Considerazioni

Le “lo” sono state calcolate in condizioni ideali di vincolo. In effetti, gli incastri nei casi “3” e “4” non saranno mai perfetti, per cui gli immancabili cedimenti dei vincoli riducono il “Pcr” ed obbligano ad assumere “lo” tanto maggiori quanto più gli incastri sono imperfetti. In pratica, nei casi “3” e “4” invece di 0,7·l e 0,5·l, si assumono rispettivamente 0,8·l e 0,70-0,75·l.

Per travature reticolari, i tratti del corrente superiore compresso, si comportano come aste incernierate (si trascura il lieve impedimento alla rotazione opposto dalle aste di parete di minor rigidezza) e si assume perciò lo=l. Per aste di parete compresse (montanti o diagonali) essendo vincolate ai correnti che hanno maggiore rigidezza, si assume lo=0,80·l.

“Pcr” è il valore limite per la stabilità dell’equilibrio rettilineo dell’asta compressa. Ovviamente noto “Pcr”, si potrà applicare all’asta, con sicurezza, un carico P<Pcr, ovvero P = Pcr/S, essendo “S” il coefficiente di sicurezza.

Per travi in acciaio S=3÷4; per travi in legno S=8÷10;

La stabilità di una trave caricata di punta, si aumenta, aumentando il momento di inerzia “Jmin” della sezione, facendo in modo che i due momenti principali di inerzia, differiscano poco tra loro. Sono, quindi, indicate le sezioni circolari, cave e a cassone.
Dalla formula generale si vede che Pcr dipende dal modulo elastico “E” e non dalla tensione di rottura del materiale [σr]. Ciò vuol dire che per fenomeni di instabilità non conviene impiegare acciaio da alta resistenza molto costoso e con una “E” quasi uguale a quella del ferro omogeneo.